機械制圖教程(點、直線、平面的投影)
2.3 點、直線、平面的投影
在前面已研究了物體與視圖之間的對應關系，但為了迅速而準確地表達空間形體，就必須進一步研究構成形體的最基本的幾何元素（點、線、面）的投影規(guī)律。
2.3.1 點的投影
2.3.1.1 點的三面投影
如圖2-7所示，由空間點A分別作垂直于H、V和W的投射線，其垂足a、a′ 、a″即為點A在H面、V面和W面上的投影。本書規(guī)定，空間點用大寫字母如A、B表示，水平投影用相應的小寫字母表示，正面投影用相應小寫字母加一撇表示，側面投影用相應小寫字母加兩撇表示。a稱為點A的水平投影；a′ 稱為點A的正面投影；a″ 稱為點A的側面投影。
2.3.1.2 點的投影規(guī)律
從圖2-7中可以看出空間點A在三投影面體系中有唯一確定的一組投影（a，a′，a″ ），反之如已知點A的三面投影即可確定點A的坐標值，也就確定了其空間位置。因此可以得出點的
圖2-7 點的三面投影
投影規(guī)律：
（1）點的V面與H面的投影連線垂直于OX軸，即a′ a⊥OX。
這兩個投影都反映空間點到W面的距離即X坐標：a′aZ=aaYH=XA 。
（2）點的V面與W面投影連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ。
這兩個投影都反映空間點到H面的距離即Z坐標：a′aX=a″aYW=ZA 。
（3）點的H面投影到OX軸的距離等于點的W面投影到OZ軸的距離。
這兩個投影都反映空間點到V面的距離即Y坐標：aaX=a″aZ=YA 。
實際上，上述點的投影規(guī)律也體現了三視圖的“長對正、高平齊、寬相等”。
作圖時，為了表示aaX=a″ aZ的關系，常用過原點O的45°輔助線把點的H面與W面投影關系聯系起來，如圖2-7(c)所示。
點的三個坐標值（x，y，z）分別反映了點到W、V、H面之間的距離。根據點的投影規(guī)律，可由點的坐標畫出三面投影，也可根據點的兩個投影作出第三投影。
例2.1 已知點A的兩面投影和點B的坐標為（25，20，30），求點A的第三面投影及點B的三面投影（見圖2-8(a)）。
解（1）求A點的側面投影
先過原點O作45°輔助線。過a作∥OX軸的直線與45°輔助線相交于一點，過交點作⊥OYW的直線，該直線與過a′平行于OX軸的直線相交于一點即為所求側面投影a″。
（2）求B點的三面投影
圖2-8 求作點的投影
在OX軸取ObX =25 mm，得點bX,過bX作OX軸的垂線，取b′bX=30 mm，得點b′，取bbX=20 mm，得點b；同求A點的側面投影一樣，可求得點B的側面投影b″。答案見圖2-8（b）。
2.3.1.3 重影點及兩點的相對位置
若空間兩點的某一投影重合在一起，則這兩點稱為對該投影面的重影點。如圖2-9所示，在三棱柱上兩點A、C為H面的重影點。重影點的可見性由兩點的相對位置判別，對V面、H面和W面的重影點分別為前遮后、上遮下、左遮右，不可見點的投影字母加括號表示。
圖2-9 重影點及兩點相對位置
空間點的相對位置，可以在三面投影中直接反映出來，如圖2-9（b）所示，在三棱柱上的兩點A、B，在V面上反映兩點上下、左右關系，H面上反映兩點左右、前后關系，W面上反映兩點上下、前后關系。
2.3.2 直線的投影
2.3.2.1 一般位置直線及直線上點的投影
直線的投影一般仍為直線。由幾何學知道，空間兩點決定一直線，因此要作直線的投影，只需作出直線段上兩點的投影（兩點在同一投影
面上的投影稱為同面投影），如圖2-10所示。
圖2-10 直線及直線上點的投影
一般位置直線對三個投影面都傾斜，其三面投影仍為直線。直線對H、V、W面的傾角用α、β、γ來表示，則ab=ABcosα＜AB，a′b′＝ABcosβ＜AB,a″b″＝ABcos γ＜AB。
點在直線上，由正投影的基本性質可知，應有下列投影特性：
（1）點的投影必在直線的同面投影上（從屬性）。如圖2-10所示，在直線AB上有一點M，點M的三面投影m、m′、m″分別在直線AB的同面投影ab、a′b′、a″b″上。
（2）點分線段之比等于其投影之比（定比性）。如圖2-10，點M分AB成AM和BM，有AM∶BM=am∶bm=a′m′∶b′m′=a″m″∶b″m″。
圖2-11 求直線上點的投影
例2.2 如圖2-11（a）所示，已知點C分 AB為AC∶BC=3∶2，求點C的投影。
解 分析：根據直線上點的投影特性，可將AB的任一投影分成3∶2，求得點C的一個投影，利用從屬性，求出點C的另一投影。作圖步驟如下（見圖2-11（b））：
(1) 過a作任意直線，并截取5 個單位長度，并連接線5b；
(2) 過3作5b的平行線，交ab 于c；
(3) 由c作投影連線，交a′ b′ 于點c′。
2.3.2.2 特殊位置直線的投影特性
投影平行線 正平線：∥V，∠H、W
(僅平行于某個投影面) 水平線：∥H，∠V、W
特殊位置直線 側平線：∥W，∠V、H
投影面垂直線 正垂線：⊥V,∥H、W
（垂直于某個投影面） 鉛垂線：⊥H，∥V、W
側垂線：⊥W，∥V、H
（1) 投影面平行線的投影投影面平行線的投影特性（正平線、水平線、側平線）見表2-3。
表2-3 投影面平行線的投影
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名稱 |
立 體 圖 |
投 影 圖 |
投 影 特 性 |
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正 平 線 |
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（1）a′ b′ 反映實長和真實傾角α、γ； （2）ab∥OX，a″b″∥OZ，長度縮短 |
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水 平 線 |
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（1）ab反映實長和真實傾角β、γ； （2）a′ b′ ∥OX，a″b″∥OYW，長度縮短 |
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側 平 線 |
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（1）a″b″反映實長和真實傾角α、β； （2）a′b′∥OZ，ab∥OYH，長度縮短 |
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投影面平行線的投影特性： （1） 直線在與其平行的投影面上的投影，反映該線段的實長及該直線與其他兩個投影面的傾角； （2） 直線在其他兩個投影面的投影分別平行于相應的投影軸。 |
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（2） 投影面垂直線的投影投影面垂直線的投影特性（正垂線、鉛垂線、側垂線）見表2-4。
表2-4 投影面垂直線的投影
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名稱 |
立 體 圖 |
投 影 圖 |
投 影 特 性 |
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正 垂 線 |
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（1）a′b′積聚成一點； （2）ab⊥OX，a″b″⊥OZ，且反映實長，即ab=a″b″=AB |
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鉛 垂 線 |
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（1）ab積聚成一點； （2）a′b′⊥OX，a″b″⊥OYW，且反映實長，即a′b′=a″b″=AB |
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側 垂 線 |
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（1）a″b″積聚成一點； （2）a′b′⊥OZ，ab⊥OYH，且反映實長，即ab=a′b′=AB |
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投影面垂直線的投影特性： （1） 直線在與其垂直的投影面上的投影積聚成一點； （2） 直線在其他兩個投影面的投影分別垂直于相應的投影軸，且反映該線段的實長 |
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（3) 直角三角形法求直線實長及對投影面的傾角 特殊位置的直線至少有一個投影反映實長并反映直線對投影面的傾角。
一般位置直線的三面投影均不反映實長及傾角的真實大小，能否根據直線的投影求其實長及傾角的真實大小呢？實際應用中，可用直角三角形法求得。如圖2-12所示，AB為一般位置的直線，過A作AB0∥ab，則得一直角△ABB0，在直角△ABB0中，兩直角邊的長度為BB0=Bb-Aa=ZB-ZA=ΔZ，AB0=ab，∠BAB0=α。
可見只要知道直線的投影長度ab和對該投影面的坐標差ΔZ，就可求出AB的實長及傾角α，作圖過程如圖2-12(b)所示。
圖2-12 直角三角形法求實長及傾角
同理利用直線的V面投影和對該投影面的坐標差，可求得直線對V面的傾角β和實長，如圖2-12(c)所示。
同樣可以求出直線對W面的傾角γ，請讀者自己分析。
圖2-13 求C點的投影
例2.3 如圖2-13(a)所示，求直線AB的實長及對H面的傾角α。并在直線AB上取一點C，使線段AC=10 mm 。
解 分析：先求出AB的實長及對H面的傾角α，再在AB實長上截取AC0=10 mm得C0點，然后將C0點返回到AB的投影ab上,求得C點的投影。作圖過程如圖2-13(b)所示：
（1）過b作ab的垂線，取B0b=ZB-ZA得直角△。aB0、夾角α即為所求實長與傾角。
（2）在AB的實長aB0上，截取aC0=10 mm，得點C0。
（3）再作C0c∥B0b得點C的水平投影c，作投影連線得點C的正面投影c′。
2.3.2.3 兩直線的相對位置
空間兩直線的相對位置有相交、平行和交叉三種情況。交叉兩直線不在同一平面上，所以稱為異面直線。相交兩直線和平行兩直線在同一平面上，所以又稱它們?yōu)楣裁嬷本€。
兩直線的相對位置投影特性見表2-5。根據投影圖可判斷兩直線的相對位置。
如兩直線處于一般位置，一般由兩面投影即可判斷，若直線處于特殊位置，則需要利用三面投影或定比性等方法判斷。
表2-5 兩直線的相對位置投影特性
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名稱 |
立 體 圖 |
投 影 圖 |
投 影 特 性 |
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平 行 兩 直 線 |
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平行兩直線的同面投影分別相互平行,且具有定比性 |
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相 交 兩 直 線 |
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相交兩直線的同面投影分別相交，且交點符合點的投影規(guī)律 |
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交 叉 兩 直 線 |
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既不符合平行兩直線的投影特性，又不符合相交兩直線的投影特性 |
2.3.2.4 直角投影定理
定理：相互垂直的兩直線，若其中一直線為某投影面的平行線，則兩直線在該投影面上的投影反映直角。
圖2-14一邊平行于投影面的直角投影
已知：AB⊥BC、BC∥H面。如圖2-14（a）。
證明：因BC∥H面，而Bb⊥H面，故BC⊥Bb，所以BC⊥平面BbaA，又因bc∥BC，故bc⊥平面BbaA。所以bc⊥ab，即∠abc=90°，見投影圖2-14（b）所示。
該定理的逆定理同樣成立。
直角投影定理常被用來求解有關距離問題。
例2.4 如圖2-15（a）所示，求點C到直線AB距離CD的實長。
2.15 求點到直線的距離
解 分析：求點到直線的距離，即從點向直線作垂線，求垂足。因AB是正平線，根據直角投影定理，從點C向AB所作垂線，其正面投影必相互垂直。
作圖步驟如下（見圖2-15（b））：
（1）過c′作a′b′的垂線得垂足投影d′。
（2）根據點D在直線AB上，求出d。
（3）連cd、c′d′即為距離的兩面投影，利用直角三角形法求出CD實長。
2.3.3 平面的投影
2.3.3.1 平面的表示法與一般位置平面圖
空間平面可用下列任意一組幾何元素來表示（如圖2-16所示）：
(1) 不在同一直線上的三點（見圖2-16（a））；
(2) 一直線和直線外一點（見圖2-16(b)）；
(3) 相交兩直線（見圖2-16(c)）；
(4) 平行兩直線（見圖2-16(d)）；
(5) 任意平面圖形（見圖2-16(e)）。
圖2-16 平面的表示法
一般位置平面的投影如圖2-17所示，由于△ABC對V、H、W面都傾斜，因此其三面投影都是三角形，為原平面圖形的類似形，且面積比原圖形小。
平面對H、V、W面的傾角，分別用α、β、γ來表示。
圖2-17 一般位置平面的投影
2.3.3.2特殊位置平面的投影特性
特殊位置平面分為投影面垂直面和投影面平行面兩類。
正垂面：⊥V，∠H、W
投影面垂直面 鉛垂面：⊥H，∠V、W
特殊位置平面 （僅垂直于一個投面） 側垂面：⊥W，∠V、H
正平面：∥V，⊥H、W
投影面平行面 水平面：∥H，⊥V、W
（平行于一個投影面） 側平面：∥W，⊥V、H
(1) 投影面垂直面的投影
投影面垂直面的投影特性見表2-6。
表2-6 投影面垂直面的投影
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名稱 |
立 體 圖 |
投 影 圖 |
投 影 特 性 |
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鉛 垂 面 |
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（1）水平投影積聚成一直線，并反映真實傾角β、γ; (2)正面投影和側面投影仍為平面圖形，但面積縮小 |
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正 垂 面 |
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(1)正面投影積聚成一直線，并反映真實傾角α、γ; (2)水平投影和側面投影仍為平面圖形，但面積縮小 |
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側 垂 面 |
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(1)側面投影積聚成一直線，并反映真實傾角α、β; (2)正面投影和水平投影仍為平面圖形，但面積縮小 |
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投影面垂直面的投影特性： （1） 平面在與其垂直的投影面上的投影積聚成一直線，并反映該平面對其他兩個投影面的傾角； （2） 平面在其他兩個投影面的投影都是面積小于原平面圖形的類似形 |
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(2) 投影面平行面的投影 投影面平行面的投影特性見表2-7。
表2-7 投影面平行面的投影
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名稱 |
立 體 圖 |
投 影 圖 |
投 影 特 性 |
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正 平 面 |
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(1)正面投影反映實形; (2)水平投影∥OX、側面投影∥OZ，并分別積聚成一直線 |
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水 平 面 |
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(1)水平投影反映實形; (2)正面投影∥OX、側面投影∥OYW，并分別積聚成一直線 |
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側 平 面 |
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(1)側面投影反映實形; (2)正面投影∥OZ、水平投影∥OYH，并分別積聚成一直線 |
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投影面平行面的投影特性： （1）平面在與其平行的投影面上的投影反映平面實形； （2）平面在其他兩個投影面的投影都積聚成平行于相應投影軸的直線 |
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2.3.3.3 平面內的點和直線
(1) 平面內取點和直線 點屬于平面的幾何條件是：點必需在平面內的一條直線上。因此要在平面內取點，必須過點在平面內取一條已知直線。如圖2-18在△ABC所確定的平面內取一點N，點N取在已知直線AB上，即在a′b′上取n′,在ab上求取n，因此點N必在該平面內。
圖2-18 平面內取點 圖2-19 平面內取直線
直線屬于平面的幾何條件是：該直線必通過此平面內的兩個點或通過該平面內一點且平行于該平面內的另一已知直線。
依此條件，可在平面內取直線，如圖2-19(a)在DE和EF相交直線所確定的平面內取兩點M和N，直線MN必在該平面內。圖2-19(b)為過M作直線MN∥EF，則直線MN必在該平面內。
在平面內取點和直線是密切相關的，取點要先取直線，而取直線又離不開取點。
例2.5 如圖2-20(a)所示，判斷點K是否屬于△ABC所確定的平面。
解 根據點在平面內的條件，假如點在平面內，則必屬于平面內的一條直線上。判斷方法是：過點K的一個投影在△ABC作一直線AK交BC于D，再判斷點K是否在直線AD上。
作圖過程如下（見圖2-20(b)）：連a′、k′交b′c′于d′，過d′作投影連線得d，即求得AD的水平投影 ad。而點K的水平投影k不在ad上，故K點不屬于平面△ABC。
圖2-20 判斷點屬于平面 圖2-21 平面內投影面平行線
(2) 平面內的投影面平行線 既在給定平面內，又平行于投影面的直線，稱為該平面內的投影面平行線。它們既具有投影面平行線的投影特性，又符合直線在平面內的條件。在圖2-21中，AD在△ABC內，ad∥OX軸即AD∥V面，故AD為△ABC平面內的正平線。同理，AB為該平面內的水平線。
例2.6 如圖2-22所示，在平面ABCD內求點K，使其距V面為15 mm、距H面為12 mm。
解 （1）分析：在平面ABCD內求點K距V面15 mm，則點一定在距V面15 mm的正平線上。同理，又因點距H面為12 mm，則點一定在距H面為12 mm的水平線上。平面上的正平線與水平線的交點即為所求K。
（2）作圖步驟如下(見圖2-22所示)：先作正平線MN的水平投影mn∥OX，且距OX軸為15 mm，并作出MN的正面投影m′n′ 。
同理，作水平線PQ的正面投影p′ q′∥OX，且距OX軸為12 mm。
m′n′與p′ q′的交點即為K點的正面投影k′，作投影連線交mn于k，
即點K（k，k′）即為所求。
圖2-22 投影面平行線的應用
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