[拼音]：guji lilun

[外文]：estimation theory

應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)方法來研究，用接收到的有噪聲的觀測數(shù)據(jù)估計實際參量或隨機變量、隨機過程或系統(tǒng)某些特性的理論，為信息論的一個分支。估計分為參量估計和狀態(tài)估計兩類。參量和狀態(tài)的區(qū)別是：前者隨著時間保持不變或只緩慢變化；后者則隨著時間連續(xù)變化。例如，根據(jù)雷達回波來估計每一時刻在連續(xù)變化的衛(wèi)星的三個空間位置矢量和三個速度矢量，這是狀態(tài)估計。對衛(wèi)星的質(zhì)量和慣量等的估計則屬于參量估計。被估計的參量又可分為隨機變量和非隨機變量兩種。要估計的狀態(tài)則又有離散時間和連續(xù)時間的區(qū)別。

發(fā)展概況

19世紀初，德國數(shù)學(xué)家C.F.高斯提出了最小二乘法估計(最小平方誤差估計)。從20世紀20年代到30年代，英國統(tǒng)計學(xué)家R.A.費歇耳系統(tǒng)地建立了經(jīng)典估計理論。1941年蘇聯(lián)科學(xué)家H.柯爾莫戈洛夫首先論述離散時間情況下的預(yù)測問題。美國科學(xué)家N.維納于1942年推導(dǎo)出連續(xù)時間濾波。他們都把統(tǒng)計方法應(yīng)用于解決與狀態(tài)估計有關(guān)的最佳線性濾波問題，為現(xiàn)代估計理論奠定了基礎(chǔ)。60年代初，R.E.卡爾曼等人發(fā)展了維納理論，把狀態(tài)變量法引入濾波理論，用時域微分方程表示濾波問題，得到遞歸濾波算法，適于用計算機求解和實時處理。這一突破使估計理論在許多領(lǐng)域得到實際應(yīng)用。80年代初，光纖通信和激光雷達等逐漸成為工程現(xiàn)實，量子信道與量子檢測和估計理論遂引起人們的注意。

基本概念

圖為一般估計問題的模型。源的輸出通常是時間t的函數(shù)，并且包含待估計的參量。例如，在雷達系統(tǒng)中，目標在每一時刻的回波就是源的輸出，可寫成Acos[2πf(t–t_R)+φ₀]，A是回波幅度；f是回波頻率；t_R是時延。這些都是待估計的參量，包含著目標的散射特性、空間距離和運動速度等信息。源發(fā)出的數(shù)據(jù)在到達數(shù)據(jù)處理裝置前總是受到隨機噪聲的干擾。概率轉(zhuǎn)移機構(gòu)把數(shù)據(jù)和噪聲按照數(shù)學(xué)規(guī)則轉(zhuǎn)移成具有一定概率模型的信號，作為處理裝置的輸入 y。處理裝置的任務(wù)就是對具有概率特性的數(shù)據(jù)進行必要的處理，然后按設(shè)定的規(guī)則得到估計量。如果待估計的參量只有一個θ，從對 y的n個觀測數(shù)據(jù)的處理所得的估計量為；因y具有隨機特性，估計量也將是一個隨機變量，它本身也有一階矩、二階矩等統(tǒng)計特性。估計量的好壞可用它的統(tǒng)計特性來表示。當(dāng)θ 為實際參量時，稱與θ（稱為真值）之差為估計誤差，用表示，即

如果的期望值為零，即

表示估計量的期望值等于真值，稱為無偏估計。如果對同一參量θ用不同估計方法得出不同的無偏估計₁，₂，…，其中之一_κ的方差是所有估計量方差中最小的，并達到相應(yīng)的下限時，則稱_κ為有效估計。如果對任一小的正數(shù)ε有下列概率的極限關(guān)系

則稱為一致估計。

估計方法

常用的估計方法有最小平方誤差估計、極大似然估計和貝葉斯估計。

（1）最小平方誤差估計：對信號和噪聲的統(tǒng)計知識可以不作任何要求。它的基本點是使 n次觀測值與理論計算值的絕對誤差在平方和意義下最小，并由此求得估計量。若u是變量x，y，…的函數(shù)并含有m個參量θ₁，θ₂，…，θ_m，即

u＝f(θ₁，θ₂，…，θ_m;x，y，…)

對u和x，y，…作n次觀測，得

(x_i，y_i，…，u_i)　 (i＝1，2，…，n)

于是u的理論計算值與觀測值u_i的絕對誤差為，i=1，2，…，n。如n個絕對誤差的平方和最小，從而使函數(shù)u與觀測值u₁，u₂，…，u_n最佳擬合，也就是使參量θ₁，θ₂，…，θ_m滿足下列關(guān)系

為最小。根據(jù)微分學(xué)中求極值方法可知，θ₁，θ₂，…，θ_m，應(yīng)滿足下列方程組

?_θ/?_θ_i＝0　　 (i＝1，2，…，m)

由此可求得最小平方誤差估計量₁，₂，…，_m。

（2）極大似然估計:以似然函數(shù)的概念為基礎(chǔ)。用Y表示一組觀測量，θ表示一組未知參量，則條件密度函數(shù)p（Y|θ）是Y 和θ兩者的函數(shù)。如果規(guī)定Y等于其觀測量Y^*，則p(Y^*│θ只是θ的函數(shù)，并稱為似然函數(shù)。其涵義是似然函數(shù)p(Y^*|θ)的值越大，則θ是準確值的可能性也越大。使p(Y^*θ)最大的θ就是極大似然估計量，通常用表示。

（3）貝葉斯估計：對于單參量估計（多參量估計的情況相似）來說，首先要給定隨機參量 θ的概率密度函數(shù)p(θ)和因估計誤差而帶來的代價函數(shù)C(θ，)。假設(shè)處理裝置對Y進行了n次測量，y＝(y₁，y₂，…，y_n)，且已知θ時y的條件聯(lián)合概率密度為p(y│θ)，則估計量(y)帶來的風(fēng)險為

平均風(fēng)險為

貝葉斯估計就是使平均風(fēng)險R()成為最小的估計。可由方程

解出貝葉斯估計量。

參考書目

1. H. L. Van　Trees，　Detection， Estimation　and Modulation　Theory， Part　I， John Wiley，New York，1968.

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標簽：估計理論

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文章名稱：《估計理論》

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