自激振動(dòng)

自激振動(dòng)的機(jī)理

所謂的自激振動(dòng)是系統(tǒng)內(nèi)部的非振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)換為振動(dòng)的激勵(lì)而產(chǎn)生的振動(dòng)。

對(duì)于自激振動(dòng)可以做如下的物理解釋：

存在一個(gè)與系統(tǒng)有關(guān)的外部恒定的能源，自激振動(dòng)靠系統(tǒng)外部的來(lái)源補(bǔ)充能量，使運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)與恒定能源之間產(chǎn)生交變力，這個(gè)交變力在運(yùn)動(dòng)方程中體現(xiàn)為阻尼項(xiàng)。當(dāng)系統(tǒng)振動(dòng)較小時(shí)，方程中的阻尼項(xiàng)成為負(fù)阻尼，使系統(tǒng)周期性地從恒定能源吸收能量而使運(yùn)動(dòng)增長(zhǎng)；當(dāng)運(yùn)動(dòng)增長(zhǎng)到一定程度，方程中的阻尼項(xiàng)成為正阻尼而使運(yùn)動(dòng)衰減。當(dāng)系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)損失的能量和吸入的能量相等時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)的周期運(yùn)動(dòng)。這種的穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)就稱為自激振動(dòng)，或簡(jiǎn)稱自振。

線性系統(tǒng)不可能產(chǎn)生自激振動(dòng)，能產(chǎn)生自激振動(dòng)的系統(tǒng)必為非線性系統(tǒng)。前面介紹的范德波方程和瑞利方程所代表的振動(dòng)都屬于自激振動(dòng)。

自激振動(dòng)與保守系統(tǒng)的自由振動(dòng)不相同。保守系統(tǒng)的自由振動(dòng)的振幅由初始條件確定，而自激振動(dòng)的振幅與初始條件無(wú)關(guān)，它決定于系統(tǒng)本身的參數(shù)。

自激振動(dòng)由于能源恒定而不同于強(qiáng)迫振動(dòng)。系統(tǒng)依靠自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的反饋?zhàn)饔谜{(diào)節(jié)能量輸入，以維持不衰減的持續(xù)振動(dòng)。也就是說(shuō)，在自激振動(dòng)中，外界恒定的能源給予振動(dòng)系統(tǒng)的交變力是由運(yùn)動(dòng)本身產(chǎn)生或控制的，運(yùn)動(dòng)一旦停止，交變力也隨之消失。而在強(qiáng)迫振動(dòng)中，交變力是由外部能源獨(dú)立產(chǎn)生的，它不依賴于運(yùn)動(dòng)，即使運(yùn)動(dòng)消失了，交變力仍可存在。這樣，強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率完全決定于外加激勵(lì)頻率，而自激振動(dòng)的頻率則很接近于系統(tǒng)的固有頻率。

自激振動(dòng)的特征

1. 振動(dòng)過(guò)程中，存在能量的輸入與耗散，因此自振系統(tǒng)為非保守系統(tǒng)。

2. 能源恒定，能量的輸入僅受運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即振動(dòng)系統(tǒng)的位移和速度的調(diào)節(jié)，因此自振系統(tǒng)不顯含時(shí)間變量，為自治系統(tǒng)。

3. 振動(dòng)的特征量，如頻率和振幅，由系統(tǒng)的物理參數(shù)確定，與初始條件無(wú)關(guān)。

4. 自治的線性系統(tǒng)只能產(chǎn)生衰減自由振動(dòng)，無(wú)耗散時(shí)也只能產(chǎn)生振幅由初始條件確定的等幅自由振動(dòng)。因此自振系統(tǒng)必為非線性系統(tǒng)。

5. 自激振動(dòng)的穩(wěn)定性取決于能量的輸入與耗散的相互關(guān)系。若振幅偏離穩(wěn)態(tài)值時(shí)，能量的增減能促使振幅回至穩(wěn)態(tài)值，則自激振動(dòng)穩(wěn)定(圖1-a)。反之，自激振動(dòng)不穩(wěn)定(圖1-b)。

圖1 自激振動(dòng)系統(tǒng)能量的輸入與耗散的相互關(guān)系

極限環(huán)概念

自激振動(dòng)是穩(wěn)態(tài)的周期性運(yùn)動(dòng)，所以它在相平面上的相軌線構(gòu)成一條封閉的軌跡，相平面內(nèi)的封閉相軌跡與實(shí)際系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)。保守系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡位置附近的等幅自由振動(dòng)對(duì)應(yīng)于相平面內(nèi)圍繞中心奇點(diǎn)的封閉相軌跡族，在密集的封閉相軌跡族中，實(shí)際相軌跡的振幅由初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)確定。

自激振動(dòng)是一種特殊的周期運(yùn)動(dòng)，它的振幅和頻率由系統(tǒng)的物理參數(shù)唯一確定，與初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。

因此自激振動(dòng)在相平面內(nèi)的相軌跡是孤立的封閉曲線，龐加萊(Poincare￠)稱此閉軌跡為極限環(huán)。

在封閉曲線周圍布滿了螺線型的相軌跡逐漸地趨近極限環(huán)，它們或者盤(pán)向極限環(huán)，或者盤(pán)向奇點(diǎn)。

極限環(huán)又有穩(wěn)定的和不穩(wěn)定之分。如果極限環(huán)兩側(cè)的相軌線都趨近于它，既當(dāng)相點(diǎn)由于擾動(dòng)偏離極限環(huán)后，即沿新的相軌跡運(yùn)動(dòng)，若擾動(dòng)后的相軌跡仍漸近地貼近極限環(huán)，則稱極限環(huán)是穩(wěn)定的如圖2中的M2。

圖2 極限環(huán)

反之，若擾動(dòng)后的相軌跡遠(yuǎn)離極限環(huán)，其中只要有一側(cè)的相軌線是離開(kāi)極限環(huán)的，則這樣的極限環(huán)稱為不穩(wěn)定的，如圖2中的M1和M3。

不穩(wěn)定的極限環(huán)是實(shí)際系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，它是用幾何作圖法畫(huà)不出來(lái)的。穩(wěn)定的極限環(huán)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)，即自激振動(dòng)。

自激振動(dòng)在各種技術(shù)問(wèn)題中占有極重要的地位，因此確定極限環(huán)的存在及其穩(wěn)定性就成為非線性自治系統(tǒng)理論中的一個(gè)重要問(wèn)題。從上面的定性分析可知，極限環(huán)的存在是明顯的，但是對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)要想從理論上證實(shí)極限環(huán)的存在并具體地找到該極限環(huán)卻是困難的。在很多情況下，問(wèn)題的解決還是要借助于圖解法。

van der Pol方程

一個(gè)具有極限環(huán)系統(tǒng)的經(jīng)典例子是范德波振子。這個(gè)例子可以說(shuō)明極限環(huán)的一些性質(zhì)。

范德波振子是由下面的微分方程所描述，即

上式可認(rèn)為是一個(gè)具有可變阻尼的振子。確實(shí)，μ(x2-1)這一項(xiàng)可以看成一個(gè)與振幅相關(guān)的阻尼系數(shù)。對(duì)于|x|<1這個(gè)系數(shù)是負(fù)的，而對(duì)|x|>1它是正的。因此當(dāng)運(yùn)動(dòng)在|x|<1的范圍內(nèi)時(shí)負(fù)阻尼有助于增加

振幅，而當(dāng)|x|>1時(shí)正阻尼有助于減小振幅，所以預(yù)期會(huì)有極限環(huán)而且確實(shí)得到了極限環(huán)。

令

則上式可以用兩個(gè)一階微分方程來(lái)代替，記為式(1)：

顯然，原點(diǎn)是一個(gè)平衡點(diǎn)。為了了解這個(gè)平衡點(diǎn)的性質(zhì)，列出下面線性化系統(tǒng)的系數(shù)矩陣

它導(dǎo)致特征方程

有根

當(dāng)μ>2時(shí)根λ1與λ2都是正實(shí)數(shù)，所以原點(diǎn)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。另一方面，當(dāng)μ<2時(shí)根λ1與λ2是具有正實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，所以這個(gè)原點(diǎn)是不穩(wěn)定焦點(diǎn)。不管怎么樣，原點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，而在它鄰域內(nèi)開(kāi)始的任何運(yùn)動(dòng)趨向于離開(kāi)這個(gè)鄰域而達(dá)到極限環(huán)。

為得到軌跡的方程，把式(1)的第二式除以第一式，結(jié)果有

要求得上式的一個(gè)封閉解是不可能的。

軌線可以用某種圖解方法來(lái)求得，例如用等傾線法，或者用計(jì)算機(jī)摸擬。圖3給出了對(duì)μ=0.2和μ=1.0的值用計(jì)算機(jī)摸擬求得的極限環(huán)。

圖3 van der Pol方程仿真結(jié)果

從圖3顯然可見(jiàn)極限環(huán)的形狀決定于參數(shù)μ。事實(shí)上，當(dāng)μ→0極限環(huán)趨于一個(gè)圓。因?yàn)樗熊壽E不論從外面或從里面都趨近于極限環(huán)，所以這極限環(huán)是穩(wěn)定的。

注意到，當(dāng)μ<0時(shí)得到的是一個(gè)不穩(wěn)定極限環(huán)，而這個(gè)極限環(huán)是軌道不穩(wěn)定的；當(dāng)μ>0時(shí)則是軌道漸近穩(wěn)定的。

可見(jiàn)，一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)包圍一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，而一個(gè)不穩(wěn)定極

限環(huán)包圍了一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

最后，必須指出，對(duì)于呈現(xiàn)有極限環(huán)的系統(tǒng)，在其原點(diǎn)周圍用線性化分析是不適當(dāng)?shù)摹?/p>

對(duì)于μ>0的情況線性化分析會(huì)判定不穩(wěn)定，其運(yùn)動(dòng)要無(wú)限增大。控制振幅大小的是非線性，即。在這種情形，恰當(dāng)?shù)木€性化必須在極限環(huán)的附近，這樣會(huì)得出一個(gè)帶有周期性系數(shù)的線性系統(tǒng)。

來(lái)源：整理自《非線性振動(dòng)》

作者：劉延柱，陳立群

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標(biāo)簽：振動(dòng)、自激振動(dòng)

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文章名稱：《什么是自激振動(dòng) 自激振動(dòng)的原理、特征》

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